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Die Trans- formation geschieht also nach dem Schema i): 5) T^Tc2...H ~ ^ßhhßHic2'"ßHH^hh''*iv \ß^^ = ^^/' T' und T sind Kovariant-Tensoren vom Range L Kehren wir diese Gleichungen gewissermaßen um und schreiben: wo ßi^Tca 18^ die zu «/^fc^ adjuugierto Unterdeterminante der Haupt- determinante lat„fc„| noch dividiert durch diese Hauptdeterminante, so bedeute 0', & Kontravariant-Tensoren vom Range L] Im Minkowskischen Raumzeitgebiet könnte man noch einen Tensor vom dritten Range mit 64 Komponenten begründen, von denen je 16 zu einem der vier dreidimensionalen Normalschnitte zu den vier Achsen gehören würden. Drei sich in der angegebenen Weise aneinanderschließende Transformationen erster Ordnung würden die Transformation dieser Vektoren ergeben. 1) Marcel Großmann in der später zu benutzenden Arbeit von Ein- stein u. Großmann: „Entvnirf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation". B. G. Teubner, 1913. — 8 — Wenn die a den gewöhnlichen Transformationsformeln ge«^ nügen, nämlich: l-=n l = n 1=1 1=1 l=n l^n 8i) yiau-aife = ({=5fcÄ;), Sg) Vo^ia^i = (i=^fc), 1 = 1 1=1 9) |a,fc| = + 1 so nennen wir die Transformationen kongruent. In solchen kongruenten Transformationen ist: lOi) :^ F'2 = V F2, IO2) 2 T'2 = V r«, wobei die Summen sich auf alle Komponentenquadrate beziehen. Nichtkongruente Transformationen hat Einstein in die ^Physik eingeführt (s. S. 56). 4^. Die Maxwellschen Spannungen im elektro- magnetischen Felde. Die Unterscheidung der Kräfte als Vektoren und Tensoren hat auch physikalisch eine bestimmte Bedeutung. Zu den Vektoren können wir alle treibenden und hemmenden Kräfte rechnen, wie Anziehungen, Abstoßungen, drehende Kräfte, Widerstände usf. Den Tensoren weisen wir Zuge und Drucke — wir sagen all- gemein Spannungen — zu. Während jene Kräfte anscheinend durch den Raum von Stelle zu Stelle wirken und darum auch als Fernkräfte bezeichnet werden, sollen diese die Stoffe un- mittelbar angreifen, so daß man sie als Berührungskräfte ansehen dürfte. Angesichts unserer jetzigen durch die Erfahrung aufgezwungenen Auffassung der Materie, sowohl der greifbaren wie der Elektrizität, des Magnetismus, des elektrischen Stromes, als durchaus atom istisch gebaut, kann es fraglich erscheinen, ob die Berührungskräfte wirklich in der Berührung wirken, ob sie nicht auch Fernkräfte sind, die nur durch die Art ihrer An- wendung in den mathematischen Theorien als Vektoren zweiter Ordnung erscheinen. Indessen hat man immer in der weit über- wiegenden Zahl der Naturforscher und Philosophen die Wirkung — 9 — lebloser Dinge in der Berührung für yorstellbar gehalten, die in die Ferne dagegen nicht. Darum war man auch immer bestrebt, die Wirkung der Fernkräfte auf solche von Berührungskräften zurück- zuführen. Der Versuche hierzu ist Legion, namentlich in bezug auf die bekannteste Fernkraft, die allgemeine Massenanziehung. Da ich hier nur von den jetzigen Lehren spreche, habe ich ledig- lich die Verbindung der Vektorkräfte mit den Tensorkräften zu behandeln. Der bequemeren Ausdrucksweise wegen nennen wir erstere nunmehr einfach Kräfte, letztere Spannungen. Ausgangspunkt für die Herstellung dieser Verbindung bilden die genialen Untersuchungen Maxwells, die einleitend angeführt werden müssen. (Electricity and Magnetism, deutsche Übersetzung von Weinstein, Bd.I, S. 152 ff. und Bd. II, S. 331 ff.) Es seien -Ej, E2 zwei Elektrizitätsansammlungen mit den wahren Dichten 9i, ^2 ^^ freien Raum (wo die Dielektrizitätskonstante gleich 1 angesetzt wird). Die Kraftwirkung von JE'a auf E^ in Richtung p beträgt dann, wenn *^ ~ J J J ^ ^^ ^^' ^^' ' *^ ~ J J J ^ ^^* ^^^ ^^^' r2 = {x2 — x^ + 2/2 — Vi + ^2 — ^D gesetzt wird, wobei nach Laplace-Poisson g2 ga ga sich findet, Setzt man und beachtet, daß in E^ die Größen Q2 und z^^a Null sind, und daß auch 8^1 -111 Qi dxi dyi dz-^ = dp sein muß, als Kraft der Ansammlung auf sich selbst, so findet man leicht — 10 — genommen über den ganzen Raum r ausschließlich des Teiles, den die Ansammlung E2 ausfüllt. Indem man nun bemerkt, daß dp dp'^~ dp'\dp dp') 2dp\()p')' ^'^— ^'^'^ ist, findet man l dt . , dP^ . dPy . dPz , -r, Y TT ^ 4:n dp und es ist dx dy dz 12) X,=^(2X2-E2), r, = ^(2r«-iZ2), Z,=^{2Z^^R^\ Qn Stt Xy=Y^ = ^^XY, Y, = Zy = — YZ, Za, = X, = ^ZX 4:71 mit x = -P:,. dx Da hiemach wird r= — Z= — 8^ de' jRa = X» 4- r« + Z'. 13) ^ o; = -m d Xa, 8 X„ , d X 8 a: + + ^)'" = fl[^- COS (w, ic) dy ' 8;8r -|- Xy cos (w, y) + Xg cos (w, ;er)] d ö, 8 Ya; , 8 Yy , 8 yf dx + + + Ty cos (n, y) + T^ cos (n, /s)] d = 4;r (By%, Zf = 4;r 6,S)„ t 14) Zf = 47r 6,®,, Xf = 4^ 6,2),. Entsprechende Gleichungen finden statt für die magnetischen Wirkungen, nennt man §a;, C^y» ^m die Komponenten der magne- tischen Kräfte an einer bestimmten Stelle auf eine daselbst befindliche oder gedachte Einheit Magnetismus und S3a;j S3yj 39« die zugehörigen Komponenten der magnetischen Polarisierung, so wird 15) Xi"^ = ^ (2 «).33. - §Ä + «),3}, + 0,S5.), I ^ ^(m) ^ ^(2 1),», - §Ä> «),«, + §,»,), rr=47rC),35„ 4"^ = 4;rC),S9„ t 15) ZT^ = 47r §,35,, Xl*"^ = 4;r §,9J,. Diese beiden Systeme von Gleichungen lassen wir gelten, welcher Art auch die elektrischen oder magnetischen Kräfte sein mögen. In Materien, die nicht isotrop sind, vertreten diese Spannungen die Kräfte auch im statischen Felde, jedoch nur dann. 1) Mit der Änderung, daß noch der Faktor 4 n hinzugefügt wird, wegen der später noch zu berücksichtigenden Spannungen. 12 — wenn zwischen den Dielektrizitätskonstanten Kpp»] jp,|/ z=i x^y^ e und zwischen den Magnetisierungskonstanten /i^^/; p^p' = x^y^ z die Beziehungen bestehen KppI = -Kprp, \kppK = flp/p, wobei mindestens im Ruhezustande ist 16) 4ar S)p = J^^g^ + JE;,y6y + ^i 6*, 17) 4 ;r 35p = ^p„C>a' + ^^y §y + ^p* C>*- Bildet man nämlich den Ausdmck der Kraft Ap in Riohtnng einer Achse p nach den Formeln 13), S. 10, so wird in der Schreibweise der Vektorrechnung ^) 18) ^, = -jJj*(eprfit;£i + {5)v)ep-|^ Jy = «a> "TT *^* = *3) 471 1 ^ = «^, ^ -if — -»» ^ WO tTrc, t/y, t/jr die Komponenten eines elektrischen Leitungsstromes be- deuten, so lautet die Minkowski sehe Form der bekannten Max well sehen Gleichungen : 26) dxi *^ dx2 dx^ dx^ + + + df, 13 dxs dx^ dxs df4S doos + + + + dx^ -^i» dx^ ~ *2' dx^ "" *»' 27) a-Fi 11 dxi dxi dFsi + + + dF, 84 dF^ dx2 dF. 41 dx^ dFis + + + + dF, 43 dxs dF^ + + + + dF, as dFii dFi, dxi d X2 d x^ dx^ = 0, = 0, = 0, = 0. — 16 — Dabei stehen x^, ^2, x^^ x^ für x, y, 2r, iCt, und O bedeutet eine Weltkonstante, nämlich die resultierende Bewegungsgeschwindigkeit aller Dinge der Welt — ob sie im Räume ruhen oder dort sich irgend wie be- wegen — im Baumzeitgebiet. Man setzt diese Konstante bekanntlich gleich der Verbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes im freien Raum, nach früherer Auffassung im freien Äther. Die Gleichungssysteme 19) und 23) für die 16 Spannungen gelten nach Minkowski auch wenn das Feld und die Sub- stanzen nicht in Ruhe verharren, sondern sich bewegen, die Werte der GröiSen ^, @, 99, ^ beziehen sich dann auf den Bewegungszustand. Minkowski hat gelehrt, diese Gleichungen so umzuformen, daiS als Kräfte und Polari- sierungen nur Größen vertreten sind, die aus dem Ruhezustand abgeleitet werden. Es seien die elektrischen und magnetischen Kräfte im Ruhe- zustand & und §' entsprechend die Polarisierungen ®' und 39'. Wir setzen: 28) (7g; = 0,, (7^; = ^,, (74jr25; = 9>„ C4.n^'^ = t^] X = 1, 2, 3; so ist für isotrope Stoffe, und auf diese soll sich die Rechnung beschränken: 29) (p^ = K0^, ^^ = ^W^. Wir führen noch Werte für Q^ und ^^ ein nach] den Be- ziehungen : 80 daß also 30) (i?) = Ö» (95) = ist. Die g bedeuten die Geschwindigkeiten der Bewegung in den yier Richtungen des Raumzeitgebietes, wobei als Zeit die Min- kowskische Eigenzeit r zu benutzen ist, welche definiert wird durch: 31) i Ct =^}ldxl + dxl + dxl — G^dt^, 80 daß wir haben: ^ r\\ V» X-t Cv Xn Ol Xo tv Xa 32) 9. = ^, g, = ^\ 93 = ^«, 9. = ^ und es ist: 33) 91^ + %,' + %i + 94^ = - CK — 17 — 34) t 34) Aus Minkowskis Belativitätslelire folgt dann^): g, = 1 {g, ®, - 91 4 + ft (92?P"i — 9i ^j) *} (j^, C), = I £(g, , - g« fl>,) + i (g, ^, - g, ??•,)} ^. ^y = {-S:(g3i-gi3) + »(g2^4-g4^s)} ^. 4«S), = i {^(g4i -91*4) + »(9s3',-gs,'P'.)} ^, 4 ;r ®, = I { üTCg, «-98 3>4) + »(9«^i-ßi^,)} ^, 4 jr «. = {(8, 4», - g, *,) + (t (gx 3»-, - g, '^0 »} ^» 4 « 58y = {(g, i - gi fl>8) + (i (%2^, - g« »F,) i} ^, 1 4«5B. = {(gi«j-8,,) + /t(98«'4-94«'8)»} ^• Führt man diese Werte in die Ansdrücke für die Spannungen ein, so erhält man, wenn 35) • 8i 89 9s *i <^s *» Wi W3 «'i 8s 94 9i 0g *4 *1 5», ?p; 'P"i = +jSl,, = +jß„ 8a 9s 84 4 Ol , a«"« g«; qj-j = -4^1, = -T^- und 36) a>a=p2 + a>j? + 032 + 0^3, m=Wj^+W} + Wi + W^ 1) Die YoUstandige Ableitung habe iob in meinem Buche : Die Physik der bewegten Materie und die Belativitätslehre gegeben. Im folgenden ist es mit Fh. d. b. M. bezeichnet. Weinstein, Erftfte nnd Spannungen. 2 — 18 — gesetzt wird: 37) C*X^= —:^Kü'^Oi — \ii C» W» + KiC» 0^ — g« fl>«) C« Fy = — i Ä^C» *« — i fi C« 'F« + £(C« *» — g« a>2) + (i{C^ Vi - g» m) - (1 + r^) g, a„ + ft (C» 9f/ - g/ 9f - (1 + -S^^) 84 «4 , C*Xy= K(C^ 9, 0, - g, g, *«) + ^ (C« gr^ gr^ _ g, g, 'Jf a) — gißj — E^ftgjßi, C« X. = KiC^ 9, 0, - g, g, a>*) + /* (C* V, W, - g, g,??^) — gjÄi— iT/tgißj, (74 r. = £:(C« «, *3 - gs g, «0 + (i (C^ W, W, - g, g,'Fä) - »• (7* y. = X(C* . -g,gi 4»«) + ft(C« ^««'i -94 9i«'*) — 94^1 — -S^f* 91^4. - i (74 T, = K(C^ a>, , - g, g, «2) + ,t (C« W,W^ - g, g,?'«) — g^ßj — Ä'/tgaÄJ«, I - * (74 r, = ÄCCi» ®, *3 - 94 9» *») + f (C« 3^4^. - 94 98 'l'*) 37) -g,ß,-J5:^g,ß,. — 19 — Die Gleichungen sind trotz ihrer Länge sehr übersichtlich gebaut. Es folgt aus ihnen: l Xy — Yx= ~~fj, ^ (fla ^i — 9i «^a), Z^ — X, = — ^^ — (äi Sl^ — gg ^i), 38) r, - Z, = ^^ (94^3 - 98^4). Im freien Äther, wo -ff^ = 1 ist, haben wir ■Ky = Yx^ Yg = Zy^ Zx = X;jf, Tx = Xe, Ty = Yt, Tg = Zt» Gleiches würde gelten, wenn 9i-92'93-94 = Si^:^2'M3''^i sein sollte. Da man aber aus 35) leicht erschließt, daß 39) (p^) = ist, so würde jene Beziehung ergeben: 9i* + 81 + 9»' + 94' = 0, was nicht sein kann, weil 94 immer von Null verschieden ist. Aus letzterem Grunde sind auch stets, in der Buhe wie in der Bewögung, Tx — Xt^ Ty — Y«, T, — Zt von Null verschieden, während Xy — Ya;, Y, — Zy, Zx — X, wenigstens im Ruhezustand Null sind. Ich wül hier die Ableitung der Spannungsgleichungen nachholen, die Minkowski nicht gegeben hat und die auch in meinem S. 12 genannten Buche übergangen ist, die Zwischenformeln brauchen wir später. Wir haben nur die in den ursprünglichen Gleichungen 19) und 23) enthaltenen Produkte @S), $^, @$, ^% nach den Gleichungen 34) zu ermitteln. Als Abkürzungen dienen für 32 Determinanten aus den g und ^ und aus den 8 und H^: 40) X, = ÖtÖft a,.fc = t i, Ä = 1, 2, 3, 4, 2* — 20 — Ton denen jedoch nur 12 in Frage kommen: 41) C^l7t(^^^^=-(KÄ,\+fia,\+(l + Kf^)A,^a^), I • C^4.nQ^^^=^(KÄ,\ +f^a,\ +(1 +ü:^) ^2,031), 0*471 lQ^SB,= ^a,% + gA^ + (l + ^A^)fl8i^2' (7* 4 71 Ip^ S5y = JT^ag ^81 + /" «14 «84 + ^31

^* ^y ®a; = — 7 (^^31 ^14 + /" «23 «24 + ^14 «24 + ^/" ^31 «28)- ^*®,§y = — 7 (i" «12 «24 + ^^81 ^34 + «24 ^84+^/" «12^81). ^* ®« §# = — 7 (i" «23 «84 + J^^12 ^14 + «34 ^14 + ^ f^ «23 ^2) . ^'* ®y §a; = — 7 (i" «31 «14 + -^^^23 ^24 + «14 Ä^ + ^f* «81 ^23) • 0* (4 71)2 $ö^ 5)^ =, _ ^ (Ä:^24 ^12 + /" «84 «81 + -^12 «31 + ^/" ^24 «84)» 0* (4 7l)2 35^ S)^ == — ^(Z'J34i428 + i"«14«l2 + ^28«l2 + ^i«^84«14)> 0* (4 71)2 sö^ ®^ = _ _ (ä:^!^ J31 4- ^ a24 023 + ulai «23 + ^A* ^u «24)- 0* (4 7l)2 3), SBy = — 7(|M«24«l2+-K^^84^81 + «l2^8l+^/"«24^84)> 0* (4 71)2 5D^ 23^ = — -^ (^ «34 «23 + ^ A4 -^12 + «28 ^2 +^/" «34 A4)» t 41) 0* (4 71)2 3«) + « V^/ oder +(C2+0«)(V^2_»/^^2)^gai^;^2^ ^^^^ _|_ 0^«i/;2_C2 «/^/+ C^ V^2. Endlich bekommt man für den Faktor von — (1 + K,u) : Ai «23 + ^24 «31 + ^34 «12 = * [(92 ^'4 — 94 ^2) (9l '^S — 93 *^'l) + (92 ^4 - 94 *2) (93 "i'i - 9i ^'3) + (93 ^'4 - 94 ^'3) (9i V'2 - 92 *^'i)]. Nach der Ausmultiplizierung heben sich sechs Glieder paarweise auf und der Rest gibt: « 94 [9l (^^'2 "f's - ^'3 *^y + 92 C^'3 *^'l ~ *1 "i's) + 93 (*1 'f'2 - *2 »^9], was eben nach 35), S. 17, gleich 04 Sl^ ist. Ebenso leitet man tRm ab. — 22 — Insgesamt ist die Energiedichte: _ 1" (72 3)2 _ 1 C2 F« - (1 + Ji:^) g, ß,. Will man nun z. B. Xx bilden, so hat man als Faktor von K aus Ai, - Ä^, = (82 *3 - Ö8 ^'2)^ - (öl ^\ - Ö4 *l)^ = Ö.'*/ + Ö8'*2'-Öi**4-0**i*-28a 08*2*8 + 201 04 *i*/V Die doppelten Produkte schreibe ich zufolge (ö*) = in der Form: — 2 Ö2 08 *2 ^3 = + (Öl*l + Ö3*8 + 04^'4) ÖS^'S + (Öl*l + 02*2 + 04*4) 02*^*2 » + 2 Öl 04*1 *4 = — (01*1 + 02*2 + 03*3) 01*1 — (02*2 + 03*3 + 04*4) 04*4- Sie geben also zusammen 03* *8'' + 02* *2* — 01 * * — 04* *4S so daß man hat: Ai, - A% = W + */) (0«' + 03*) - W + */) (01* + 04*) und zufolge 33), S. 16 : Äi, - A}, = - (*,« + *3«) (0« + öl* + 04*) - (*I + *4*) (01* + 04*) = _ 0* (*« — *i* - *4*) - **(0l' + 04*). Vereinigt man das mit dem entsprechenden Gliede in — 47r9l, so er- geben sich die im Ausdruck für G^Xx mit K multiplizierten Glieder. Ent- sprechend folgen die mit fx multiplizierten Glieder, da ja Symmetrie herrscht. Für die (1 -|- Kfji) multiplizierten hat man als Faktor : ai4 A^^ — ^u «23 = * (01 ^U — 04 ^^'l) (02*3 — 03*2) — * (01 *4 — 04*l) (02 "^'3 — 03 *^'2). Nach Ausführung der Multiplikation und Hinzufügung der Größe + Ö4 -^4 von dem Betrage der Energiedichte heben sich von den 14 Gliedern 8 paar- weise auf und die 6 übrigbleibenden Glieder geben öi-^i* Ahnlich sind alle anderen Druckkomponenten zu berechnen. Zuletzt bemerke ich noch, daß die Differenz der Energie- dichten die Beziehung gibt: 45) L = 4jr(3tn, - X) = ^^{KO^-^W% Die Spannung Tt entspricht der elektromagnetischen Energie- dichte 9t im Räume. Man hat nach 37), S. 18 und 44), S. 22: 46) ^=^Tt, Die Spannungen T«;, Ty, T, sind proportional der Poynting- schen Energieströmung im Räume. Bedeuten ^xi ^y? ^« deren Komponenten, so hat man: 47) -p^ ^aj = 1^^ — ^y r= lyy Yi ^g :=z J,g, — 23 — Die Spannungen X^, F^, Zt gleichen Poyntingschen Vektoren, jedoch mit Polarisierungen statt der Feldintensitäten, abgesehen vom Faktor --j — tt-tv- Im Kuhezustande und für isotrope Stoffe sind sie den Poyntingschen Vektoren proportional; es ist dann auch G C K^ Hiemach berechnen sich die aus der Annahme der vierten Dimension folgenden sieben Spannungen nach dem Muster von aus der Lehre des Elektromagnetismus bekannten Größen. Beziehen wir diese Spannungen statt auf die Zeitachse auf die 0:4 -Achse, so haben wir ihre Werte mit i zu multiplizieren, weshalb in dem System 37), S. 18 sogleich die Formeln für — iT« usf. gegeben sind. Aus den Spannungen berechnet Minkowski die Kräfte im elektromagnetischen Felde nicht nach dem Muster unter 13), S. 10 sondern er fügt zu den nach diesem Muster anzusetzenden Kräften noch besondere Kräfte hinzu. Hat man nämlich nach diesem Muster: 48) K,= d Xa; , 8 Xy dx^ + dx 2 K, = ^ + K,= dxi dY. dx + 8 + dXa "•" 8ajj '■' dXi '^ ~'^^*- dx, + 8a;, + dx^ ' 8 (- i r<) 8 (- i Z,) dx^, ' 8(-tT.) 8T» so nimmt Minkowski für die Kraftkomponenten nach den vier Koordinatenachsen an: 49) X, = X=Z,+-^g,(g^> 1 X2= r = ^2 + (ii92(i^). 1 Xg = z = -k:8 + ^ 03 (9^)7 1 X, = T=Z, + ^g,(gÄ). — 24 — Die Begründung für diesen Ansatz werden wir später kennen lernen. Wir schreiben in leicht verständlicher Abkürzung: 50) z, y X -iT^—iT«-iT, X. — iXt Sxx Sj, S»i s« r. -iYt Sii s„ s„ S4J z. — iZi Sit SjS Stt S,n z Tt Si, Su Su s« 80 ist die Energie aller Spannungen im Raumzeitgebiet V gleich {{{{dxidxzdxsdxi gegeben durch 51) P Sa ^r^ dxi dx^ dx, dx. ; L Ä = 1, 2, 3, 4. OXi 6. Max Abrahams Ansätze für das elektro- magnetische Feld. Max Abraham^) setzt in Beschränkung auf die Verhältnisse im dreidimensionalen Baum: 520 Y 8 Xx , d Xy ^^ ~ dx ^ dy ^ dz dQ X Y ■= ^ ^'' I Z = dx 8Z a, , dYy dt dG, Gx div g öy ^-^Yt — ^^^^^^. X dZy dZg dGg /7 j dx +-dt+^T—dr-^'^'^^- Die Xx usf. haben die früher angegebenen Werte, g bedeutet die Geschwindigkeit im Baum und in der Zeit t • G nennt Max Abraham die Impulsdichte und definiert sie durch die Gleichungen in Vektorschreibweise: ^^) («f ) K. l ^^ dl dt dt )• 54) [G^] = 43r[62) + ^S], so daß für die drei Komponenten von G zwar vier Gleichungen bestehen, von denen jedoch nur drei voneinander unabhängig sind, wenn die Feldintensitäten und Polarisierungen der Bedingung genügen : 55) ( ^[(S5D + C)331 ) = 0, 1) Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 28 (1909), 2. semestre. Vgl. Ph. d. b. M., 8. 242 ff. w w <. «. ^ — 25 — was bei den bis jetzt aufgestellten Theorien im allgemeinen der Fall ist. Man hat dann auch: 56) ( 6^[eS)+C)^] ) = als Gegengleichung zu 55) und bedarf von dem Satz Yon Glei- chungen 54) nur einer Gleichung. da Beachtet man die Bedeutung von -rr-» so folgt: dQ , ^ ,. aG , 86? , 86? , dt dt 'dx dy dt "'+Kt+t+'a dCr .d Ggie j^ ^Ggy^ dy ' de dGg. 52,) dy ' de Die Gleichungen für die Kräfte werden also auch: 8 (X^- G^ g^) d jXy-G.gy) d(X.^ G^g.) 8 g, 8a; "*" gy ■*" de dt ' d(Y,-Gyg,) djTy-Gygy) d(Y.-Gyg.) dGy dx '^ dy ^ de dt ' G.g^) , djZy-G.gy) 80Z. - G.g.) 8 G. Z = _ diz. dx ' dy ' de dt In der Form entsprechen diese Gleichungen den Minkowski- schen für die Kräfte K nach 48), S. 23, und es wäre namentlich: 57) CG^ = X, CGy = Yu CG. = Zt. Aber die neuen Spannungen: I Xi = Xx — Gxffx \ Xy =: Xy Gxgy [ X; = X. - Gx9. Zx = Zx — G-ggx Zy = Zy — G-ggy Z'. = Z.- G.g. Xx — Jlx ^ygx ly = Xy ^ygy Y'.= Y.- Gyg, würden nicht den Minkowski sehen gleich sein, sie unterscheiden sich von ihnen durch die Glieder Gg. Max Abraham nennt die Spannungen X^', ... absolute, die X^^, ... relative. Das relative Spannungssystem X^, ... hat ein Drehungsmoment, da allgemein Xy ^ Yx usf. ist. Im absoluten Spannungssystem ist z. B.: Xy — Yx'= Xy — Ya: + Gygx — Gxgy = 4.n{^x'^y + ^x^y'-%%x — ^y^x)-Gigy + Gygx, d.h. Xi-Yi = -[(^^] + 4;r[g® + |)5B] =0 nach 54). Also wird: 59) Xy = x'x^ Yz =^ Z'y^ Z'x'= Xi, — 26 — das absolute Spannungssystem genügt der Bedingung der elastischen Spannungen. Wir werden später sehen (S. 38), daß Heinrich Hertz der gleichen Bedingung auch für die relativen Spannungen mit anderer Voraussetzung zu entsprechen sucht. 7, Spaimungen und Striktion, Wir kehren zu den Ausgangsgleichungen 12), S. 10, den Max- wellschen für isotrope Stoffe, zurück. In diesen Gleichungen ist auf die durch die Spannungen selbst etwa verursachten Deformationen der Stoffe keine Rücksicht genommen. Helmholtz und Kirch- hoff haben sie darum abgeändert, indem sie allgemeiner schreiben: 07t Z(«) xr^*) * T" "Y V V — -^ X — T~Z -^e -^6 -*• e An 1 Xx = ■^—{2LmX.m — Lm^m)61) Stc r<«) v(fi) 7"" V 7 f ^u ~A — -^e J- e A 60) Zi'^ = Xi (e) 4:7t _1_ 4^ X/« i>« JLe Zz = 5— (2 L'm Zm — L'tn Um) o7t 4:7t B — ^y = -7— ^m JL^ Ids *k7t m m ^m 1 I ^x -Ag —Lim ^m ^m vl^ Die JL", X' sind Größen , die in folgender Weise zu bestimmen sind ^). Nennt man Äj, X2, A3 die drei Hauptdilatationen, |, r/, C ilire Richtung und H, H, -Z" die Komponenten der elektrischen oder magnetischen Kräfte ; setzt man ferner in üblicher Annahme für die Komponenten der dielektrischen Polarisierung in Richtung dieser Hauptdilatationen; ( J'f = (.^e - ^'e \.h + h + is] - K >l) K . 62) j Pf = (»t, - x; [^1 4- Xa + Äg] - < ^) »e. und entsprechend für die magnetische Polarisierung: 63) ^ Pf >= (x„- x;„ ^ + Aa + ig] - 'm ^a) »„„ ■PC^""= (»m- ''m [^1 + ^ + *8] - «m h) -^«, 1) Vgl. meine Thermodynamik und Kinetik der Körper 3, 1, S. 270 ff. — 27 — 80 ist 64i) i;' = l + 4nx, + -^, L; = l+i7tx, -47rx;, und zugleich haben wir: 66) l-\-inx, = K, l + ii,x„ = fi, also ■■■ - ^^ ^ ff 65s) X;=^+ll^, L;„=^-4;rx;„, x', x" beBtimmen sich aus den obigen Gleichungen. Bilden wir nun die Kräfte, so ist für eine Raumeinheit: Im Fall die Kräfte ein Potential besitzen, wird .^ 8^+ ^8]^ + ^87 = ^ 8^ + ^8^ + ^8^ = 2-87' also 680 A = L"Pq' + ^(L".- L') H'; P = X, F, Z; p = a;, y, ^, WO die freie Dichte 9' bestimmt ist durch ,^ 1 /8X er 8Z\ Nach den Werten von L'\ U findet sich so: 68,) a', = L"Pq' + ^(x"+2>c')^. Bei Deformationen bestimmen sich also die Kräfte aus den Spannungen anders als nach der Theorie der Fernkräfte. Die Unterschiede betragen — -^ ^ — Die Spannungen bewirken x" + 2 x' hiemach eine akzessorische Kraft, die ein Potential — -^ — E^ hat. Die Anwesenheit einer Ladung oder eines Magnets bewirkt so überhaupt in dem sie umgebenden Medium, ob dort andere — 28 — Ladungen vorhanden sind oder nicht bestehen, deformierende Kräfte, die man bekanntlich der Elektrostriktion oder Magneto- striktion zuschreibt 1). Die modernen Theorien nehmen auf diese aus den Deformationen fließenden Kräfte keine Rücksicht. Man kann sie jedoch auch hier in gleicher Weise in Rechnung nehmen. Wir bedürfen dazu aber einer anderen Darstellung für die Span- nungen. Indem wir von ursprünglichen Formeln 19) und 23), S. 13, 15, ausgehen, ersetzen wir sie durch folgendes System, das dem Helmholtz-Kirchhoffschen entspricht: 69) X, = 4 « {j^; g, S).+ iv,;;C)«a3x - 1 n^ (m) - 1 Jf^ (ü)} , ^. = 4 « ^Ni' 6, 2). + J^;;^. 58, - 1 Ni (m) -^N;, (gl)}, Tt = 4 T {1 2\r.' (15) + i JV; (gS)} , X, = 4 « {N;; g, % + 2^; §, 58,), Y, = 47c {Ni' g, 2)« + NU, ^y 58«), r. = 4 :r (JV; 6„ 2), + J^^ C»y ».), Z. = 4 :r (iV; g, 2), + JV;; §, 18«), Z, = 4 « (JV; g, 5), + J^^,;; ^, 58,), 2V = i£,|),g,-Jf,§,g„ r, =Jlfi§,g«-Jlfä|)«g„ X, = (4 «)2 (Jii 58, 2), - iWi 33, 2),), r, = (4 «)2 ( Jfi 58« % - J/^ 18, 2)«), 69) Zt = (4 ä)* {Mi 58, 35« — Mi 18« ®,). Die ^, j9f sind die neuen Konstanten, und man hat wohl Jfj = M2 = 1 zu setzen. Die Ausdrücke durch die Ruhekräfte erhält man durch Einführung der Werte für die g, 2), ^, 18 usf. nach den Gleichungen 34), S. 17. ^) Eingehende Beispiele habe ieh in meinem S. 26 genannten Buche gerechnet. — 29 — 8. Bedeutung der Spannungen. Da die elektromagnetischen Störungen so verbreitet werden wie das Licht, so ist der Sitz der Spannungen der Äther, der freie oder der in den Körpern enthaltene. Nun war es bereits Maxwell nicht zweifelhaft, daß gewöhnliche greifbare Materie Spannungen, wie sie z. B. durch seine Gleichungen 12), S. 10, dar- gestellt sind, von denen ja alle anderen nur Verallgemeinerungen bedeuten, nicht standhalten kann, denn diese Spannungen zerren die Materie sowohl längs den Kraftlinien als auch quer dazu, Maxwells^) Ableitung besteht in folgendem. Ist S eine Niveaufläche mit der slu d S nach außen gerichteten Noi*male n, so hat man dp ' ox^ ^ oy^ ' dz ^ wo a, ß^ y die Richtungskosinus der Normale n bedeuten. Also Xc = ^(««-/iC-y«), Yv^^iß'-y*—'*), Z, = g(ys_„»_/»«), R2 PS T?a Xy=z Yx=^^ßa, YM = Zy=:^yß, Zx = Xm = ^^ a y. Da die Komponenten Nx^ Ny, Ng der zu. d S senkrechten Spannung N sind: Nx= aXx + ßXy + yXM, Ny = aYx + ßTy + yYg, Ns = €cZx + ßZy + yZMy 80 erhält man hiemach d. h. die Spannung zieht senkrecht zur Niveaufläche und mit der Kraft ^ — Nehmen wir für S eine Kraftfläohe S' mit der Normale n' und den Richtungskosinus a', ß^y /, so ist z. B. die o?- Komponente der Spannung senkrecht zu dS' gleich i,; = ..ic.+^x,+/x. = ^i-[„.(^/-„.(g)'-^(|S)' Andererseits muß öx ^ ^ dy ^ ' dz sein, die obige Gleichung und die ihr entsprechenden ivotN'y N^ geben also ^) Electrioity and Magnetism, deutsche Übersetzung, Bd. I, 1, 156 f. "- 30 — N' ist hiernach entgegengesetzt gerichtet zu N\ parallel den Niveau- flachen besteht so ein Druck von gleicher Größe wie der Zug senkrecht zu ihnen. Übertragen wir unsere Anschauungen von der greifbaren Materie auf den Äther, so muß also dieser Äther unter dem Einfluß dieser Spannungen in Bewegung geraten. Helmholtz ^) hat für diese Bewegung die Gleichungszusätze aufgestellt. Das Problem ist aber sehr verwickelt, da die Bewegung die Spannungen ihrerseits ändert 2). Vermehrt werden die Schwierigkeiten, wenn man mit Maxwell und Heinrich Hertz annimmt, daß der Äther in den Körpern unlösbar an diese Körper gebunden ist. Das ist wohl mit ein Grund, warum die Annahme von H. A. Lorentz in seiner Elektronentheorie, daß nämlich der Äther überhaupt unbeweglich ist und seinerseits zwar auf Körper wirkt, nicht aber Yon Körpern irgend eine Gegenwirkung erfährt, so viel Anklang gefunden hat. Es genügt dann die Aufstellung der Spannungen, ohne daß es nötig ist, zu untersuchen, wie sie den Äther beeinflussen, denn er soll ja seiner Natur nach durch sie nicht in Bewegung versetzt werden können. Indessen rückt dann die ganze Be- trachtung in das formal Mathematische, denn yon den elastischen Verhältnissen in absolut starren Stoffen wissen wir aus der Er- fahrung, nichts. Die mathematische Behandlung wird aber durch die Annahme der Starrheit freilich sehr erleichtert. 9, Spannungen und Energie. Die meisten elektrodynamischen Theorien, die man bisher aufgestellt hat, führen zu den Formelsystemen 7) (TS 70) +Ccurlp^ = 43r^^ + 43re7p, 71) — CcwrZp 6 = 43r-jjT^; p = cc^yjs^ 72) Q = div^, 73) = div 5B. Dabei bedeutet D/Dt die Operation 1) Wied. Ann. f. Phys. 53, 185 (1894). ä) Ph. d. b. M.. S. 190 ff. ■» »' 1^ II *^ll — 31 — in der d 8, d . 8. 8 ist und Qxi gyi Qm die Komponenten der etwaigen Bewegungs- geschwindigkeit im. Baume nach der Zeit t angeben i). Hiemach haben wir Die linke Seite dieser Gleichung wird nach /x) in der Anm., S. 12 wo 75) C[®$"Jp = ^p; l> = a:, y, ^ den Poyntingschen Vektor bezeichnet. Die Glieder der rechten Seite geben nach der Definition 74) und in etwas anderer An- ordnung -|.(^H^ {@) + @-(if )-(^} Setzen wir hiernach 76) l 2 \ d< ^ ^ d< d< di^J ' 4«(gJ)= Q, 80 wird also — d»«5p = 4«(^ + 91' — O + 291 dwj?) + G. Da ist, wo dF ein Yolumenelement darstellt, so hat man 77) -{div^^Q) = ^K{^^-^^^-^>-{€x-^dwg)y 1) Ph. d. b. 14., S. 131f. und 242 ff., wo auch die Bedeutung für die verschiedenen Theorien behandelt ist. — 32 Das ist die Energiegleichung. Die Größe "Hü ist in der Maxwell- Hertzschen Theorie gleich Null. Die Größe O — ^divg stellt die mechanische Energie dar. Ausgeschrieben und etwas zusammen- gezogen haben wir Fügen wir die Größe — ^divg hinzu, so wird die mechanische Energie in der Banmeinheit 78) M = X,^+Y,^ + Z,^J^ + X,^^ + X. dx dy dz dy dg. ■>rZy-, dg. dy und die X^ usf. haben die uns schon bekannten Werte. Für den Raum V ist diese Energie 9x .y dgy ,ydg, y dg^ "d'^'^ 'dy ^^'W^^dy ^9x + Yjj^ + Y.^^ + zJ^ + Zy^jAdxdydz. 790 M -m^ + X, dz Nun hat man z. B. dx dz dx dyj \\\x^'^dxdydz=\^^ = 11 gx^xCos{n,x)dS--\\\ga:-^dxdydz, wo S die Oberfläche von V bedeutet. Und ähnlich für die anderen Integrale. So bekommt man mit 80) K,= ,^ dPx.dPydP. dy ' dz' -P = ^^'^' p = x,y,z. 81) Up = gxXp-\-gyYp+g.Zp\ p = x, y, s. 79,) M = —jjj(g^E,+gyKy + g.K.)dr. + \\{Ux cos (n, x) + Uy cos (n, y) + ü. cos (n, z)) d S. Die K bedeuten also mechanische Kräfte, wie früher. — 33 — Ich habe nun einige Bemerkungen zu machen. In den Theorien von Maxwell-Heaviside-Hertz und Cohn bedeuten @, ^, 93, ^ die Feldintensitäten und Polarisierungen im Zustande der Bewegung, falls eine solche besteht. Das gleiche gilt für Minkowskis Theorie, jedoch stellen hier die Formeln 70), 71), 74) nur Annäherungen dar. In der vollständigen Theorie Minkowskis vermag man in der angegebenen Weise nicht zu rechnen. Min- kowski hat aber seine Matrixrechnung (S. 14) so eingerichtet, daß für die Spannungen formal die gleichen Ansätze heraus- kommen, die auch jene Gleichungen finden lassen. Diese Matrix- rechnung gibt zugleich auch die Spannungen zur Berücksichtigung der Zeitdimension seines Raumzeitgebietes, die man sonst nicht erhalten kann. Für die Theorie von H. A. Lorentz kann man zwar die gleichen Formeln 70), 71), 74) benutzen, aber dann bedeuten nur @, 5), $B die Werte dieser Größen im bewegten Felde, |) dagegen ist die magnetische Feldintensität in diesem Felde, wenn keine Bewegung stattfindet. Ist jedoch Bewegung vorhanden, so stellt ^ eine andere Größe dar als die tatsächliche magnetische Feld- intensität 1). Wird letztere mit ^* bezeichnet und der Wert von 5) in reinem Äther mit ®o? so hat man und dieser Wert wäre in die Spannungsgleichungen einzutragen. Nach einer von mir selbst aufgestellten Theorie 2) würden im reinen Äther Spannungen unter Umständen, nämlich wenn er sich sollte bewegen können, überhaupt nicht vorhanden sein, sondern nur im Äther, der die greifbaren Stoffe erfüllt. Es kommt darauf hinaus, daß, sofern Bewegung besteht, in den Spannungsgleichungen alle elektrischen Größen mit dem Faktor 1 — k ^, alle magneti- schen mit dem 1 — Ä — multipliziert werden, wo Kq^ fio sich auf reinen Äther beziehen, k eine Eonstante bedeutet, die auch 1 sein könnte. 1) Ph. d. b. M., S. 210, 242, 253. 2) 1. c. S. 188 und 249. Weinstein, Kräfte und Spannungen. — 34 — Im ganzen ist die Begründung der Gleichungen für die Spannungen keine befriedigende. Ich führe darum noch die Theorie hierüber von Heinrich Hertz an. 10. Theorie der Spannungen yon Heinrich Hertz. Heinrich Hertz i) geht von dem Ausdruck für die Energie aus. So ist die magnetische Energie Wenn das Medium sich bewegt, so kann es Translationen, Rota- tionen und Deformationen erfahren. Nur die letzteren sollen in Betracht kommen. Sie bewirken aber, daß selbst ein isotropes Mittel sich entweder wie ein kristallinisches verhält, oder daß es wenigstens Verdichtung oder Verdünnung erfährt. Also ist aU- gemein entsprechend 17), S. 12 und die Änderung der magnetischen Energie im Raum d V wird + \[^x^x + ^y^y + ^.^.]^^ Darin setzt Heinrich Hertz ftik = /xi,-. Dann wird unter Be- rücksichtigung von 17) und weil d(dV) = Vdtdivg ist: 1) Ges. Abhandl. 2, 275 ff. ; Wiedem. Ann, d. Phys. 41, 369 ff. (1890). J — 35 — Da die mechanische Arbeit nur für die Deformation zu be- . rechnen ist, behalten wir in den Gleichungen 71) zur Bestimmung der -^y nur die von den Deformationsgrößen ^^ usf. abhängigen Glieder, setzen also nach 74) ein ät \dy d^/ dy dz' dx' dt ^ \cz ' 8j^ / ' dz ^ dt \dx dy J dx ^ ^ dy Die Glieder in der ersten und die der letzten Zeile geben dann: i («)x SB. -§, 58y -§, 58.) ^ + K«>v S3» -«). S3» -«>«»«) 1^ dz + ^'^^-ä + ^y^'^+ «>«».^ + «>'»« ^^' Man schreibe z. B.: 80 hängt das zweite Glied von der Rotation 77 (-r^ — ^r^l der ° 2\dy dxj Teile des Mediums ab. Heinrich Hertz wirft dieses Glied ab, dann kann man die zweite und dritte Zeile schreiben: m.^y + «)v»«) (^ + ^) + H^y^s + ^.^y) {^ + 1|') Beide Zeilen geben, indem wir die X^, usf. überstreichen: 3* — 36 — entsprechend früheren Darstellungen. Ob es zulässig ist, die Yon der Rotation abhängigen Glieder fortzulassen, kann fraglich er- scheinen, man gewinnt aber dadurch die wünschenswerten Be- ziehungen: Y V V 7 7 V Es bleiben in der Theorie yon Heinrich Hertz noch die von den -~ abhängigen Glieder. Nennt man die elastischen Ver- schiebungen f,^,S, so nimmt er die -^ als bestimmt an durch die Zeitänderungen der Deformationen ~-^ :r^, ;r^, ^ + ^5 ox oy dz oy öx --^ + ;r-^, ;r^4-;r-» 80 daß, wenn wir sie bezeichnen mit a, ß. de dy dx dz 7% % ^9 Xy ^^^ allgemein hat: dft dfidadjidßdfi dy d^d^. diiätlf dfidx It ~ dalt'^dßli'^dv dJ'^dq>Jt^di^li^'^ und da ^ _ _L ^ f dt~dxdt'^^ gesetzt werden darf, weil die f , iy, S nur kleine Größen sein werden, so hat man: da_dg^ dß^_dgy dy^ _dgz d(p _dgx . dgy dt~dx' dt dy' dt dz' dt dy'^dx' dt dz "^ dy' dt dx'^ dz' Hiemach treten zu den früheren Gliedern weitere Glieder hinzu, die von den Verzerrungsfaktoren in derselben Weise abhängen wie diese, und man hat nunmehr für die Spannungskomponenten: 83) Xr= 4^ [C).S9. -liS3 4- 2 2 M^'^fS^ SJ, Zr = 4 « [C), 58. - i (M) + 22 <« »p 5B J , p q ^«"' =^i^y^.+ ^.^y+ll Ka «p SB«), 83) Zj"" = ^ (§, «» + C). 39» + 2 2 J^^l 5Bp 35,) . -4 p q — 37 — 84) Xf = 4 a [6. S)« - 1 (f^) + 11 E'-'l 2), ®,], y;*^ = 4jt [6v®v-KlD + 22 ^,^>p®,], P ff Z,<'' = ^ (g, 2), + g, ®« + 2 2 E^l ®, 2),), ^ P « yf = ^ (e,®. + 6.2), + 2 2 <,' 2), 3),), t / *" 84) Zf = ^ (e, S)« + g, 2). + 2 2 E^*l %j, %,). Die entsprechenden Gleichungen für die elektrischen Druck- komponenten mit 6, 5) und ^(*"> an Stelle von $, SS und Jtf <•"> sind gleich hinzugefügt. Die M^ E sind aus den je sechs Difieren- tialquotienten der ft', JT' nach den Größen a, ..., ;i( zu bilden. Die Gleichungen erinnern an die Helmholtz-Eirch hoff sehen Formeln unter 60), 61) S. 26, in denen die Striktion berück- sichtigt ist. In der Tat weist Heinrich Hertz nach, daß sie für Stoffe, die trotz der Deformation isotrop bleiben, in diese Gleichungen der Form nach übergehen. Doch sollen die in ihnen mit Le, Z/m bezeichneten Eonstanten gleich K und ft werden. II, Die mechanischen Kräfte. Noch schwieriger wird die Lehre von den Spannungen, wenn wir zu den mechanischen Kräften übergehen. An sich gelten für alle Kräfte, die ein Potential besitzen, die einfachen Maxwell- schen Entwickelungen S. 10. Wir könnten also die Maxwell- schen Formeln 12), S. 10, ohne weiteres auch auf ein Feld über- tragen, in dem z. B. lediglich die allgemeine Schwerkraft herrscht. Und die Verhältnisse sind hier noch besonders einfach, weil diese Formeln dann allgemein gelten dürften, denn für die Schwer- kraft ist, soviel wir wissen, in allen Stoffen Jf = 1, ft = 1. Auch würden die Gleichungen zunächst ebenfalls bestehen, wenn im Medium Bewegung herrschen sollte. Davon sprechen wir noch (S. 38). Diese Übertragung der elektromagnetischen Verhältnisse auf mechanische hat man schon ziemlich früh vorgenommen. Allgemein aber verdanken wir ihre Ausbildung Minkowski, der sie gleich für sein Raumzeitgebiet durchgeführt hat. — 38 Maßgebend für Minkowski ist, daß jede Bewegung eines Körpers im Ranm oder im Raumzeitgebiet abhängt von Span- nungen in seiner Umgebung, die unmittelbar auf ihn wirken und so ihn drängen oder stoßen. Die Arbeit dieser Spannungen, die auch hier Suc] i^ h = l^ 2, 3, 4 bezeichnen, für irgend welche virtuelle Verrückungen d^k, J; = 1, 2, 3, 4 — Minkowski nennt diese Arbeit die Span- nungswirkung — setzen wir entsprechend 51), S. 24: 85) dW=^ ^^^^^ Si, ^* dx, dx, dx, dx,. Mit dieser Spannungswirkung und dem, was er Massen- wirkung nennt, leitet Minkowski nach einem dem Hamilton- schen Prinzip der klassischen Mechanik nachgebildeten Prinzip seine bekannten Gleichungen der Raumzeitmechanik ab. Indem er zugleich die Bedingung, daß in der fundamentalen Beziehung 31), S. 16, für die Eigenzeit t die Größe C eine absolute Weltkonstante sein soll, eiuführt, erhält er für die Raumzeitkomponenten der mechanischen Kräfte als Ausdrücke durch die Spannungen mit 86) Xd Sil I 3 Sgl d 8i 81 Tx = dxi + Z^^^^'^^ dX2 d S^i dx^ dS, + dx^ dXi dx% dXi dx, dSgi + + ^^^ + dx 3 dx^' dXt, ' dXt' die Werte: 87) wobei 88) Z = Zi + ^ g, (g^), ■ iC2' = tCTi+^g,(g^, (Ö^ = 81^1 + 9,r, + g,^ + iJCT, — 39 — ist. Die Zusatzglieder zu Xi, Yi, Zi, Tj, wir nennen sie Min- kowskische Zusatzkräfte, ergeben sich aus der angeführten Bedingung für die Weltgröße C, und sie dürfen nicht fortgelassen werden, ohne die Minkowskische Theorie grundsätzlich zu ändern ^), Dementsprechend sind die Gleichungen 48), 49), S. 23 für die elektromagnetischen Kräfte angegeben. Aber wie sind nun die Spannungen S. 24 anzusetzen? Im Vergleich mit den elektromagnetischen Spannungen haben wir nach dem Schema auf S. 24: Sil = Xaj, Ö12 = Yx^ S18 = Zx^ Si4 — — iTa-, S2I = Xy, S22 lyi O28 Zy^ S24, = —iTy, ^81 Xg, ^sa Y«i Sss Zg^ ^84 — —iTg^ 89) S41 = — iXt, S142 = — iYtj S48 = — iZt, S144 = Tt. Für die Spannungen im Raum allein könnte man, wie schon hervorgehoben, die Maxwell sehen Beziehungen 12), S. 10 be- nutzen. Max Abraham^) hat darum diese Beziehungen auf das Raumzeitgebiet schematisch erweitert. Es seien im Raumzeit- gebiet Kräfte JR^^>, R^^\ ..., JJ("> mit den Gesamtkomponenten i?i, £2, Bbi -^4 vorhanden; so setzt er: 90) 4;rSii =2J(B?^^R% I 4:JtS22 = 2](B2-^B% 4;rS38 = 2;(Ü8-|ü2), 4;rS44 = 2;(Ü4-iüa), in 821 =4;rSia = 2J(B^B2), 4:^1 8^2 = ^^ S2S = 2(B2B^)^ 4;r /S18 = 4n 8si = 27(JJgi2i), in 8^1 = in 811 = 2J{BiB^)j A in /S42 = in /S24 = 2j (^B2B^)^ 90) in Ä48 = 4;r iS84 = uIb^B^), ^^ B^ = Bf + B,^ + Bi + Bi ist. Es mag sein, daß diese Gleichungen auf die mechanischen Kräfte angewendet werden dürfen. Von den Ausdrücken für die elektromagnetischen Spannungen sind sie weit entfernt, nament- lich hinsichtlich der Zeitdimension und des Wegfalls der Unter- 1) Weinstein, Ann. d. Phys. 48, 929 (1914). «) Phys. Zeitschr. 1912, S. 1, 310, 793. — 40 — Bcheidung zwischen Feldintensität und Polarisierung, zumal sich bei den mechanischen Kräften oft auch jedes Feld als isotrop darstellt Diejenigen Kräfte, die sich momentan verbreiten, wie abermals die Gravitation es zu tun scheint, sind auch von den Bewegungen unabhängig, für sie berechnen sich also die Span- nungen wie im statischen Felde, wenn auch gerade hier die Be- rechnung mehr formale als sachliche Bedeutung beanspruchen kann (S. 44> Eine andere von Max Abraham gewählte Form für die Spannungen ist vielleicht noch bedeutungsvoller, o sei eine Funk- tion von x^ y, jer, t^ die aus folgender Gleichung zu bestimmen ist : 91) E = g,X + gyY + g,Z ~ a 8« \aa;a"^8y2 '^ 'dz^ Cdt\C dt)}' woselbst a eine universelle Weltkonstante bedeuten solL Es wird a 821 = tt 812 = — « 8ua = CC So« = '82 ^ ^2S a/S,o = «&, = — '18 ^ '-'Sl dx dy' 80 8(9 8y 8^' 8g78o 8^ 8^' ^ 1 808© «S4i = «Su = -Ö87 8^' Q „ 1 80 8aj aö,a — «^24 — -(j^gy, t ^ o ^ ^^ ^^ 92) «^« = «^»« = -cäyä^' mit -) '^•=©'+Cä-:)'+(if)'+ÄCä?) a — 41 — Für die Eraftkomponenten gelten in beiden Fällen die An- sätze unter 52), S. 24, und es ist die Impulsdichte 6r im letzten Falle bestimmt durch (^A \ non d(od(o ^ ^ diodd) 940 «^^^- = -äT8^' «^'^^ = -8i^' d. h.: ^^ ^^ 943) CGx = S^i = Si4, CGy = Ä42 = S24, CGg = S^g = 5^84, im ersten durch 95) Gx = 541 = ^141 ^V = ^42 = ^24? Ö^» = ^43 = ^SV Zu den Minkowskischen Ansätzen für die Kraftkomponenten verhalten sich die Max Abrahamschen wiederum so, als wenn in jenen die Zusatzkräfte, die aus der angenommenen Eonstanz von C sich ergeben, fortfielen 1). In der Tat läßt auch, wie wir noch sehen werden, Max Abraham C variabel. Indessen ist die Abweichung von Minkowskis Schema für die elektromagnetischen Spannungen doch gar zu groß und zu wesentlich. Da nun die einzigen Spannungen, für die Ausdrücke wenig- stens mit einiger Wahrscheinlichkeit angesetzt werden können, gerade die des elektromagnetischen Feldes sind, wird man besser versuchen müssen, die mechanischen Eräfte auf elektromagne- tische zurückzuführen, also ein System von elektromagnetischen Eräften aufzustellen, das im Ergebnis z. B. solche Kräfte dar- stellt, wie die allgemeine Gravitation, oder die elektrische Kraft von statischen Ladungen, oder die magnetische Kraft von ruhen- den Magnetpolen. Dazu ist noch nicht einmal ein Anfang ge- macht Selbst Minkowski hat in dem allein von ihm be- handelten Beispiel, nämlich der astronomischen Bewegung für die Newtonsche Gravitation, im Raumzeitgebiet einen bestimmten Ansatz gemacht, ohne auf die Definition durch die Spannungen einzugehen. Darüber sprechen wir noch. Will man aber von den gesicherteren Maxwellschen Formeln 12) wenigstens im Raum Gebrauch machen, ohne auf Berücksichtigung der Zeitdimension ganz zu verzichten, so wird es einer Umrechnung der Raumkräfte 1) Ph. d. b. M., S. 378 ff., wo der Druckfehler bei ^44 zu verbessern ist. — 42 -^ nach den Lehren der Relativität bedürfen, indem man sie mit dem Faktor l/l — ^ multipliziert, wo g die Geschwindigkeit des Stoffes im Raum allein bedeutet Minkowskis Lehre führt zu der eigenartigen Folgerung, daß im Raumzeitgebiet die Kräfte ein Potential nicht haben können, was im Raum yon den Kräften gerade so oft angenommen wird. Seine Mechanik ergibt nämlich als Energiesatz: 96) g,X + g,r+9,^+9«^=-f^((7*), WO m die Maße des sich bewegenden Substanzpunktes bedeutet. Nun soll aber G absolut konstant sein, also bleibt 97) giX + g3r+93Z+8,T=0. Hätte nun die Kraft ein Potential O im Raumzeitgebiet, so wäre hiemach d. h.: d^_80 _ dx dt Diese Gleichung kann aber nicht bestehen, da unter allen Umständen mindestens a^ von Null, also -5— von -^r— mindestens d ^ um das Glied a^ ^ — verschieden ist Nur wenn O von Xä , also von der Zeit nicht abhängt, kann ein Potential wenigstens im Ruhezustand im Raum bestehen. Unabhängigkeit der Kräfte von der Zeit wurde früher fast immer angenommen, sie liegt aber nicht im Sinne von Minkowskis Vierdimensionallehre, denn sie könnte selbst bei größter Allgemeinheit hier überhaupt nur vor- handen sein, wenn die Bewegung im Raum konstant ist, also nur in einem ganz besonderen Fall. In Minkowskis Lehre ist die Verbindung der Kräfte mit den Bewegungen eine bei weitem engere als in der früheren Mechanik. Und das kann auch nicht anders sein angesichts des Umstandes, daß die Arbeit dieser Kräfte im Raumzeitgebiet immer Null ist, die Bewegung im Raum mag sein wie sie will. Bis zu einem gewissen Grade trifft das für die Relativitätslehre überhaupt zu. Der Begriff der konser- vativen Kräfte findet in diesen neueren Theorien keinen Platz. — 43 — Sicher nicht in der Minkowskischen Theorie, wie ja schon die Ausdrücke 87), S. 38 für die Kraftkomponenten unmittelbar lehren. Wenn die Bewegungsgeschwindigkeit g im Baum allein gegen die Weltgeschwindigkeit G (die also der Lichtgeschwindigkeit im freien Äther gleichgesetzt wird) gering ist, kann man freiüch bis auf Größen yon der Ordnung ^ die Xj, Yi, Z^^ an Stelle Yon X, Y, Z ansetzen. Alsdann kann wenigstens für den im Baum wirkenden Teil der Ki'aft ein Potential angenommen werden (s. u.). Die Kraft T wird aber unter gleicher Vernachlässigung gleich ( ^ Xi -|- ^ Yi -f- Y^ Zi j, sie kann also an jenem etwaigen Potential nicht teilnehmen. Max Abraham hat in seinen Theorien nicht nur X, Y, Z durch Xi, Yi, Z^ ersetzt, sondern auch T durch Tj. Leicht ist dann zu beweisen, daß, wenn in dem Gleichungssystem 90), S. 39 die i2 ein Potential besitzen, dieses Potential auch für die durch die Spannungen darzustellende Kraft gilt, d. h. eigentlich, daß die Gleichungssysteme 90) und 86) widerspruchsfrei bestehen. Wir nehmen nur eine Kraft und setzen ^i~""ä^' ^«-""ä^' ^8--""ä^' ^*-""ä^ mit der Laplace-Poissonschen Bedingung 80 haben wir also nach 86): ^ dxidxi dxidx* dx^dx^dx^ dx^dx^dx^ dx^dx^dx^ d4» d^4^ ^ d

, (^4>()8^> , ^*/^ d^

, = |((7a-.Co»). Diese Gleichung oder für statische Verhältnisse die frühere 103) C7— (7o = ^ — ^0 stände mit der älteren Belativitätslehre in Widerspruch, wenn man nicht annehmen will, daß die Gravitation ein überall kon- stantes Potential besitzt, also Kräfte nicht äußert Die vollständige Minkowskische Theorie, unter Einbeziehung der Zusatzkräfte ^) In den erwähnten Abhandlungen in den Annalen. ») Physik. Zeitschr. 1912, S. 1 fE., 310 fF., 793 fE. — 51 — (S. 39), gibt eine solche widersprechende Gleichnng nicht Selbst wenn die B (S. 43) ein Potential haben sollten, findet man i) 104) = -.( dx "•" C» V /8* 1 gu d^ iCT de d0 — _ (— + 9x dO\ -9* dt)' C^-^gi dt 9m dO g^ dt iC dO et) ' C« — 5f« dt ) Und diese GleichuDgen erfüllen Minkowskis Energiesatz gerade wenn C absolut konstant ist. (i giebt die Masse des betreffenden Körpers für Raumeinheit. Die Anwendung dieser Gleichungen liegt außerhalb der Aufgaben dieser Schrift. Will man die An- wendung auf den Raum beschränken, jedoch der Theorie Rech- nung tragen, so sind die Gleichungen für x^ y^ e noch mit dt/dt =)/-^ zu multiplizieren. Eine andere Berechnung hat Max Abraham auf Grund seines zweiten Ansatzes für die Spannungskräfte 92), S. 40 aus- geführt. Er setzt voraus, daß co nur yon C abhängen soll, also so weit variiert, als diese Größe veränderlich ist. Alsdann gibt eine einfache Rechnung für die Kräfte, bezogen auf Yolumeinheit des substantiellen Punktes: 105) X= Gco^— , ^ a dx V 1 ö*» a dy' V 1 r-, ^^ wo 106) □ o = 18/1 aaj\ ü ?)i\G dt ) ist. Die Größe — D « vertritt die Dichte der betreffenden Materie a an dem Orte, wo die Kraft wirken soll. Wo Materie nicht vor- handen ist, wird deshalb 107) D cj = 1) Ph. d. b. M., S. 375. 4* — 52 — gesetzt. Für den mit Materie erfüllten Baum ist a w von Null yerschieden, und zwar soll 2a 108) üc3 = rj sein, wo ij die Dichte des Energieinhalts der Materie bedeutet Die Leistung E der Kräfte- ist dann [Gleichung 91), S. 40]: 109) E = ^^' ' et Ol Nun wird 110) «0 = yc" angesetzt. Dadurch erhält man: 111) □a, = __^-^|^(^_-j+(^_j+(^_)-^(^_jJ j^J_/8>(7 . 8«C , 8»C 1 8»C 112) 2C_--^g^, jr__-^_, z_--^g-^, und wenn man H den Gesamtenergieinhalt des substantiellen Punktes nennt, für diesen ganzen Punkt als Kraftkomponenten 1130 ß. = 2.^=- cä^' ^y-2^^--Gd^' ß) 'V' /7 HdC Max Abraham setzt nun: 114) H=MC, ^=^^ worin Jf eine Konstante und unabhängig sein soll von C, Hier* nach wäre die Kraft: ft = — gradH = — Mgrad (7, d. L: 113,)ft, = -ilf||, ^v = -^|f, ^' = -J^|f. oder: 1133) ß« = -2Jlfa)||, ßy = -2Jlf(o|^, ff,= -2JfGj||. C entspricht so einem Potential. Die Größe M ist dem obigen zufolge so bestimmt, daß die Schwere eines Systems pro- portional ist seinem Energieinhalt, und M ist der Proportionalitäts- — 53 — faktor. Die träge Masse selbst wird für den Buhezustand (wegen der Ableitung ist auf die Abhandlung zu verweisen): 115) ^ = ^'g"^^C'^ gesetzt, wo ^ eine Zahl bedeutet, die in der früheren Belativitäts- theorie 1 sein sollte. Die obigen Gleichungen für die Schwerkraft sollen für ein ruhendes wie für ein bewegtes Feld gelten. Daß seine Ansätze mit der Belatiyitätslehre nicht zusammenstimmen, hat Max Abraham selbst hervorgehoben, und dieVergleichung mit den Formeln der Einsteinschen Theorien lehrt dieses auch unmittelbar. In diesen Theorien ist dem Gravitationsfeld ein Strahlenfeld äquivalent an die Seite gesetzt, so daß die Yerbreitungsgeschwindig- keit des Lichtes oder eine Funktion von ihr so variiert, wie das Potential der Gravitation in dem Felde. Hiemach verhält sich das Feld wie ein an verschiedenen Stellen verschieden brechender Stoff, in dem also auch die Strahlen gekrümmte Wege einschlagen. Was zunächst bildlich scheinen könnte, ist als ein dem ruhenden Beobachter wirklich Erscheinendes aufgefaßt worden: die Licht- strahlen sollen im Gravitationsfelde z. B. der Sonne krumme Bahnen einschlagen wie etwa in der Atmosphäre. In seiner ersten Theorie berechnet Einstein die Ablenkung a eines Lichtstrahles auf einer Wegstrecke S2 bis Sj nach der Formel: »1 wo n die Normale an s bedeutet und die Ablenkung positiv sein soll, wenn sie nach Richtung der wachsenden n erfolgt. In dieser ersten Theorie hatte er nun als die dem Gravitationspotential äquivalente Größe bis auf eine Konstante -ö- 0^ gefunden, also war: f 1 8*^ »1 und indem er O gleich dem gewöhnlich angenommenen Wert setzte, erhielt er z. B. für das Gravitationsfeld der Sonne: «2 , C l TcMdr . — 54 — wo X die GrafitatioiKkoiistauitey M die SonneniiuuBe bedeutet. Für einen StnU, der an der Sonnenoberfliche Torbeigelit, ist hiemach: =1^ C« r* eos^ds^ wo ^ den Winkel bedeutet, den r bildet mit einem zum Strahl eenkrecht^i Sonneniadins. Und da man mit hinlänglicher Annähe- ning ds = rdf^ nnd r = dem Sonneniadins H nnd C konstant letzen darE, wäre die AUenknng Tom Herantreten des Strahles zur Sonne Ins zum Abgehen Ton ihr: + T _ 1 xMC ~ O R ] Mit den bekannten Werten für die einzelnen rechtsstehenden Gröüen findet Einstein a = 0,83 Bogensekunden, um welche ein unmittelbar an der Sonne stehender Fixstern Ton ihr fortgelenkt erscheinen würde. Max Abraham hat zwar ebenfalls ein Strahlenfeld äquiralent dem Grayitationspotentialfeld, allein es gilt für dieses Potential eine andere Beziehung, als die übliche Theorie Toraussetzt, nämlich die Beziehung unter 108), die z. B. für statische Verhältnisse gibt: d^d Im freien Baume gUt das gewöhnliche PotentiaL Schreiben wir es J. 4- -B/^) so folgt nach 113s) ^ ^^ Gravitationskraft, daß das Newtonsche Grayitationsgesetz die Form haben sollte: wo B'/A' = 10"® betrüge, so daß das zweite Glied zu klein wäre, um die Planetenbewegung merklich zu beeinflussen. Für C hätten wir: wodurch die Variabilität von C bestimmt ist — 55 — Einstein 1) aber hat seine Gravitationslehre sehr erheblich erweitert. Die Erweiterung kommt darauf hinaus, statt des Aus- druckes unter 100), S. 50, für ds in den Formeln 99) auf S. 49 den allgemeineren zu setzen: 116) d8 = ^^6iudx,dx^\ t,Ä;= 1, 2, 3, 4; X-^ • • ' •*'j »^2 — »f, »«/j ■ Äj X^ ' v, WO die 6 Funktionen sollen sein können der x^ und 117) 6iu = Öici ist. Hiemach wäre 118) ' ik und es ist mit denselben Bedingungen: 119) dxi ^ äs^ 120) dH ßj ^ ^sr^döadxidxk ^xi ^^ ^"^Z^^xi ds dt ' 121) Die erste Gleichung gibt die Impulse, die zweite die Kräfte, die dritte die Energie. Einstein dehnt diese Gleichungen auf Aggregate unzusammenhängender Substanzpunkte m aus und rechnet hiernach auf Volumeneinheit um, dividiert also durch das Volumen V im Bewegungsgebiet. Für das Verhältnis dieses Volumens mit dem Buhvolumen (in Minkowskis Theorie: dem Volumen im ßaumquerschnitt senkrecht zur Weltlinie) Vq leitet er die Beziehung ab: dl 1^ dt yZTD ' die eine Verallgemeinerung der in der gewöhnlichen Relativitäts- lehre und auch in der Minkowskischen Lehre geltenden darstellt. Indem er noch ih/Vq = Qq setzt, erhält er so: 122) Y=ro^-=J=, D = \6aU ^) Siehe die S. 49 genannte Abhandlung. — 56 — 123) -^G, = - 9,V-Z>2<*'* dxk dXi ds ds 124) ^ft,= -|9,V-2) ik döiTi dxi dxjc dxi ds ds = -i5:v^^4^0.* ik dxi 125) ^E = ^ g^fZTB^ö, V Die Größe: dxjc dXi * ds ds i, Ä = 1, 2, 3, 4; l^= 1, 2, 3. 126) wird von ihm kontravarianter Spannungs-Energietensor der materiellen Strömung genannt Marcel Grossmann, dem der rein mathematische Teil zu Einsteins S. 49 an dritter Stelle genannten Abhandlung zu verdanken ist, hat bewiesen, daß die Divergenz dieses Tensors die Form hat: 127) {diven\ = :E^-^^(fD®a)+^^^^ woselbst m 8<^fem , dÖim dXm/ dXi dXje ist und yim die zu (J,«» adjungierte ünterdeterminante der Deter- minante D angibt, dividiert durch D. Diese Divergenz ist ein kontravarianter Vektor. Bildet man dazu den reziproken ko- varianten Vektor Bi = ^ (J^ (div Snc\^ in welchem die ö Stufen- k großen (Skalare) sind, so findet sich nach einiger Zwischenrechnung: Diesen Vektor setzt Einstein gleich Null und bekommt so: 128) JRi = 129) a = 0. 2-^' dxi Die Gleichung stellt vier Gleichungen dar. Die drei ersten Gleichungen (Z = 1, 2, 3) sollen die Impulsgleichungen abgeben, die letzte Gleichung ({ = 4) soll der Energiesatz sein. Doch heißt es: „Man vermutet aus dem Vorhergehenden, daß der Impuls- — 57 — Energiesatz die Form haben wird ..." Zufolge der Gleichung 124) ist hiernach weiter auch: 130) -1|?, =24:(y^^öu0i*)=2äF2(V^^'^"®'*)- Die Größe rechts setzt sich additiv aus einzelnen DiSerential- quotienten zusammen. Nun besteht zwar auch der unmittelbare Ausdruck 124), S. 56, für die Kräfte aus Gliedern, die Differential- quotienten enthalten, diese sind aber mit den variablen Faktoren y — D multipliziert. Einstein bemerkt aber, daß z. B. in der Elektrostatik die Kräfte in der Form ausgedrückt werden können: ^ 4;r ^ dXk \dXi dxjc)^ 8;r -^ dxi \dxic) ' wie sich auch aus den Maxwell sehen Gleichungen 12), 13), S. 10, sofort ergibt. Hiernach stellt er die Forderung auf, daß i n der Gleichung 124), S.56, für die Kräfte ^ die Größen V— 2) & so bestimmt werden sollen, daß diese Gleichung die obige Form für die yi'i annimmt. Die Beziehung 129) oder 130) enthält dann in beiden Gliedern nur Differentialquotienten, die additiv mit kon- stanten Faktoren aneinandergereiht sind. Der Tens or ist dabei, weil die 6 Skalare bedeuten, so daß auch y — D einen Skalar ergibt, ein solcher gewöhnlicher Art, d. h. er verhält sich gegen lineare Substitutionen wie Produkte und Quadrate von Vektoren, obwohl er von der Art einer Dichte ist. Die Frage, ob im Gravitationsfeld der Tensor & nicht höherer Art sein kann, will Einstein offen lassen. Es zeigt sich nun, daß in der Tat eine Formel vorhanden ist, die eine Größe, welche dem zweiten Gliede der Gleichung 129) entspricht, in lauter Differentialquotienten mit konstanten Faktoren auflöst. Diese Identität ist^): 131) V— ry^ya.,^^^--v— (^y^y«^^^— ^^ a/Jr^ ' aßt^ -2h'..|Sl$-(l«*-T''-.^-')lS^']l 1) Der Beweis findet sich in dem mathematischen Teüe von Gross- mann und ist auch sonst leicht zu führen. — 58 — y hat die früher iangegebene Bedeutung. Hieraus folgt, daß die in { } stehende Größe bis auf einen konstanten Faktor A für ©ifc zu setzen sein würde. Das zweite Glied der Gleichung 129) geht dann in die links vom Gleichheitszeichen geschriebene Größe über, die aber nur aus Differentialquotienten mit konstanten Faktoren besteht. Und da alles nunmehr durch die y und aß, aß 80 geht zunächst die Formel 129) über in die entsprechend gebaute: % K t K und indem man entsprechend den Formeln 132) und 133) als Abkürzungen einführt: erhält man als Gegenstück zu 134) 142) A' &iu = - z/Jk (ö) - A' ^;.fc, ferner zu 135) 143) -^iic(